Los binomios son expresiones matemáticas en las que aparecen dos miembros o términos, ya sean estos números o representaciones abstractas que generalizan una cantidad finita o infinita de números. Los binomios son, pues, composiciones de dos términos.
En el lenguaje matemático, se entiende por término la unidad operacional que se separa de otra por un signo de adición (+) o de sustracción (−). No corresponden a esta categoría aquellas combinaciones de expresiones separadas por otros operadores matemáticos.
Los binomios cuadrados (o binomios al cuadrado) son aquellos en los que la suma o resta de dos términos debe ser elevada a la potencia dos.
Un dato importante de la potenciación es que el cuadrado de la suma de dos números no es, en general, igual a la suma de sus cuadrados, sino que debe agregársele también un término más que incluye al doble del producto de A y B. Por ejemplo: (X+1)2 = X2 + 2X + 1, (3+6)2 = 81, (56-36)2 = 400.
A Newton y a Pascal se asocian dos herramientas que son muy útiles a la hora de comprender la dinámica de estas potencias: el teorema de Newton y los triángulos de Pascal:
- El primero de ellos apuntó a establecer la fórmula bajo la cual se realiza la potenciación de los binomios, y esta fue expresada en lenguaje matemático (aunque bien puede explicarse con palabras),
- El segundo mostró de una forma mucho más didáctica cómo van aumentando los coeficientes de los desarrollos de las potencias a medida que aumenta el exponente al que es elevada la expresión.
El teorema de Newton, que como todo teorema matemático tiene una demostración, muestra que el desarrollo de (A+B)N, cuando N es un número entero positivo, tiene N+1 términos, de los cuales las potencias de A empiezan con N como exponente en el primero y van disminuyendo hasta 0 en el último, al tiempo que las potencias de B empiezan con exponente 0 en el primero y van aumentando hasta N en el último: con esto puede decirse que en cada uno de los términos la suma de los exponentes es N.
En cuanto a los coeficientes, puede decirse que el coeficiente del primer término es uno y el del segundo es N, y para determinar un valor de coeficiente suele aplicarse la teoría de los triángulos de Pascal.
Con lo dicho, basta para entender que la generalización del cuadrado del binomio funciona de la siguiente manera:
(A+B)2 = A2 + 2*A*B + B2
Ver además: Lenguaje algebraico
Ejemplos resoluciones de binomios cuadrados
- (X+1)2 = X2 + 2X + 1
- (X-1)2 = X2 – 2X + 1
- (3+6)2 = 81
- (4B+3C)2 = 16B2 + 24BC+ 9C2
- (56-36)2 = 400
- (3/5 A + ½ B)2 = 9/25 A2 + 3/5 AB + ¼ B2
- (2A2 + 5B2)2 = 4A4 + 20 A2 B2 + 25B4
- (10000-1000)2 = 90002
- (2A – 3B)2 = 4A2 – 12AB + 9B2
- (5ABC-5BCD)2 = 25B²C²(A2 – 2AD + D2)
- (999-666)2 = 3332
- (A-6)2 = A2 – 12A +36
- (8a²b + 7ab⁶y²)² = 64a⁴b² + 112a³b⁷y² + 49a²b¹²y⁴
- (A3+4B2)2 = A6 + 8A3B2 +16B4
- (1,5xy² + 2,5xy)² = 2,25x²y⁴ + 7,5x²y³ + 6,25x²y²
- (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16
- (x – 5)2 =x2 -10x+ 25
- -(x – 3)2 = -x2+ 6x-9
- (3x5 + 8)2 = 9x10 + 48x5 + 64
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